题目内容

4．某厂为了解甲、乙两条生产线生产的产品的质量，从两条生产线生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）．如图是测量数据的茎叶图：
规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品．
（1）根据样本数据，计算甲、乙两条生产线产品质量的均值与方差，并说明哪条生产线的产品的质量相对稳定；
（2）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．

分析 （1）分别求出甲、乙两个车间产品某种元素含量的均值$\overline{{x}_{甲}}$、$\overline{{x}_{乙}}$，方差${{S}_{甲}}^{2}$、${{S}_{乙}}^{2}$，由$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，$s_甲^2＞s_乙^2$，知乙生产线的产品的质量相对稳定．
（2）由样本数据可知，乙厂10件产品中有5件是优等品，ξ的取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设甲、乙两个车间产品某种元素含量的均值分别为$\overline{{x}_{甲}}$、$\overline{{x}_{乙}}$，方差分别为${{S}_{甲}}^{2}$、${{S}_{乙}}^{2}$，
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{9+13+19+16+15+18+21+25+21+23}{10}=18$，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{18+16+17+16+19+12+15+22+21+24}{10}=18$，…（2分）
${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{10}$[（9-18）2+（13-18）2+（19-18）2+（16-18）2+（15-18）2+（18-18）2+（21-18）2+（25-18）2+（21-18）2+（23-18）2]=14，
${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{10}$[（18-18）2+（16-18）2+（17-18）2+（16-18）2+（19-18）2+（12-18）2+（15-18）2+（22-18）2+（21-18）2+（24-18）2]=11.6，
∵$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，$s_甲^2＞s_乙^2$，∴乙生产线的产品的质量相对稳定．  …（5分）
（2）由样本数据可知，乙厂10件产品中有5件是优等品，
∴ξ的取值为0，1，2，3．
$P（ξ=0）=\frac{C_5^0C_5^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{12}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_5^1C_5^2}{{C_{10}^3}}=\frac{5}{12}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_5^2C_5^1}{{C_{10}^3}}=\frac{5}{12}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_5^3C_5^0}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{12}$，…（9分）
∴ξ的分布列为：

ξ0123
P$\frac{1}{12}$$\frac{5}{12}$$\frac{5}{12}$$\frac{1}{12}$
故ξ的数学期望为$Eξ=0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{5}{12}+3×\frac{1}{12}=\frac{3}{2}$．…（12分）

点评 本题考查平数、方差的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

练习册系列答案
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