题目内容
【题目】已知四棱锥
中，侧面
底面
，
，
是边长为2的正三角形底面是菱形，点
为
的中点
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
(1) 连结AC，交BD于O，利用中位线定理证明
，结合线面平行的判定定理证明即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用坐标求出平面PAB和平面PBC的法向量，即可求解.
（1）
连结AC，交BD于O，连接MO，由于底面ABCD为菱形，
O为AC中点
又M为
的中点，，又
面
，
面
平面
（2）过
作
，垂足为
，由于
为正三角形，为
的中点．由于侧面
面
，由面面垂直的性质得
面，
由
，得
∴
以E为坐标原点，EP为
轴，EA为
轴，EB为y轴，建立空间直角坐标系．
则
，
设平面PAB的法向量为
，平面PBC的法向量为
由
及
得
，取
，得平面PAB的一个法向量为
同理可求得平面PBC的一个法向量
，由法向量的方向得知
所求二面角的余弦值为
.
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