Question

【题目】已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，且过点，直线与椭圆交于两点（两点不是左右顶点），若直线的斜率为时，弦的中点在直线上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若在椭圆上有相异的两点（三点不共线），为坐标原点，且直线，直线，直线的斜率满足，求证：是定值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】

（1）设椭圆的标准方程为，，将点代入椭圆方程，两式作差，根据直线的斜率以及弦的中点在上即可求解.

（2）设直线：，，代入椭圆方程，运用判别式大于，以及韦达定理，由条件解得，再由两点间的距离公式，化简可得定值.

（1）设椭圆的标准方程为，

由题意可得，两式作差可得，

又，，代入上式可得，

又因为椭圆过过点，代入椭圆方程可得，

所以椭圆的方程为：.

（2）证明：设直线：，，

，

即

，

即为，

又三点不共线，可得，

则①，

将代入椭圆，

可得，

则②

且，

化为 ③

将②代入①可得，解得，

则，

即有