题目内容
20．已知函数f（x）=|x-a|，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f2（x）≤2的解集；
（2）已知函数g（x）=f（2x+a）+2f（x）的最小值为4，求实数a的值．
分析 （1）当a=1时，不等式f2（x）≤2，即（x-1）2≤2，即可求不等式f2（x）≤2的解集；
（2）x≤0，g（x）单调递减，x≥a，g（x）单调递增，可得g（x）min=2a=4，即可求实数a的值
解答 解：（1）当a=1时，不等式f2（x）≤2，即（x-1）2≤2，
∴1-$\sqrt{2}$≤x≤1+$\sqrt{2}$，
∴不等式的解集为{x|1-$\sqrt{2}$≤x≤1+$\sqrt{2}$}；
（2）∵a＞0，∴g（x）=|2x|+2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{4x-2a，x≥a}\\{2a，0＜x＜a}\\{-4x+2a，x≤0}\end{array}\right.$，
∴x≤0，g（x）单调递减，x≥a，g（x）单调递增，
∴g（x）min=2a=4，∴a=2．
点评 本题考查不等式的解法，考查函数的最小值，考查学生的计算能力，属于中档题．
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（2）假设当n=k（k∈N*）时不等式成立，即$\sqrt{{k}^{2}+1}$＜k+1，则当n=k+1时，$\sqrt{（k+1）^{2}+1}$=$\sqrt{{k}^{2}+2k+2}$$＜\sqrt{{k}^{2}+2k+2+2k+2}$=$\sqrt{（k+2）^{2}}$=（k+1）+1；所以当n=k+1时，不等式$\sqrt{{n}^{2}+1}$＜n+1成立．
上述证明中（ ）
（1）当n=1时，$\sqrt{{1}^{2}+1}$＜1+1，不等式成立；
（2）假设当n=k（k∈N*）时不等式成立，即$\sqrt{{k}^{2}+1}$＜k+1，则当n=k+1时，$\sqrt{（k+1）^{2}+1}$=$\sqrt{{k}^{2}+2k+2}$$＜\sqrt{{k}^{2}+2k+2+2k+2}$=$\sqrt{（k+2）^{2}}$=（k+1）+1；所以当n=k+1时，不等式$\sqrt{{n}^{2}+1}$＜n+1成立．
上述证明中（ ）
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| A． | 2 | B． | 5 | C． | 6 | D． | 8 |