题目内容
10．对于不等式$\sqrt{{n}^{2}+1}$＜n+1（n∈N*），某学生用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，$\sqrt{{1}^{2}+1}$＜1+1，不等式成立；
（2）假设当n=k（k∈N*）时不等式成立，即$\sqrt{{k}^{2}+1}$＜k+1，则当n=k+1时，$\sqrt{（k+1）^{2}+1}$=$\sqrt{{k}^{2}+2k+2}$$＜\sqrt{{k}^{2}+2k+2+2k+2}$=$\sqrt{（k+2）^{2}}$=（k+1）+1；所以当n=k+1时，不等式$\sqrt{{n}^{2}+1}$＜n+1成立．
上述证明中（ ）
| A． | n=1验证不正确 | B． | 归纳假设不正确 | ||
| C． | 从n=k到n=k+1的推理不正确 | D． | 证明过程完全正确 |
分析 用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论
解答 解：当n=1时，左边=$\sqrt{{1}^{2}+1}$=2，右边=1+1=2，故当n=1时，不等式成立，
假设当n=k（k∈N*）时不等式成立，即$\sqrt{{k}^{2}+1}$＜k+1，即k2+1＜（k+1）2，
则当n=k+1时，$\sqrt{（k+1）^{2}+1}$=$\sqrt{{k}^{2}+2k+2}$＜$\sqrt{（k+1）^{2}+2k+1}$=$\sqrt{（k+1）^{2}+2（k+1）+1-2}$=$\sqrt{（k+2）^{2}-2}$＜$\sqrt{（k+2）^{2}}$=k+2=（k+1）+1，
故当n=k+1时，不等式成立，
综上所述，不等式$\sqrt{{n}^{2}+1}$＜n+1（n∈N*），
由此可以判断从n=k到n=k+1的推理不正确，理由是，没有用上假设，
故选：C
点评 本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是用上归纳假设的结论，否则会导致错误．属于中档题．
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