Question

【题目】已知椭圆 的一个顶点为A(2，0)，离心率为 .直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M、N.
（1）求椭圆C的方程.
（2）当△AMN的面积为 时，求k的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得 ，解得 ，所以椭圆C的方程为
（2）解：由 ，得 ，
设点M、N的坐标分别为 ，则 ， ， ， 所以



又因为点 到直线 的距离 ，所以 的面积为 ，
由 得，
【解析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解得b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和配方，化简整理，解方程即可得到k．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．