Question

16．已知曲线C：（x-y）²+y²=1在矩阵$A[{\begin{array}{l}2&{-2}\\ 0&1\end{array}}]$对应的变换下得到曲线C'，则曲线C'的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀）为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q（x，y），利用$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{-2}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$，然后求解曲线C′的方程．

解答 解：设P（x₀，y₀）为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q（x，y），
则：$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{-2}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}_{0}-2{y}_{0}}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{x}{2}+y}\\{{y}_{0}=y}\end{array}\right.$，…（5分）
（注：用逆矩阵的方式求解同样给分）
又（x₀-y₀）²+y₀²=4，∴（$\frac{x}{2}$+y-y）²+y²=1，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
∴曲线C′的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查矩阵的变换，曲线方程的求法，考查计算能力，属于基础题．