Question

【题目】如图所示，曲线是以坐标原点为顶点， 轴为对称轴的抛物线，且焦点在轴正半轴上，圆．过焦点且与轴平行的直线与抛物线交于两点，且．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ．

【解析】试题分析：（1）设抛物线的标准方程为： 求出抛物线的焦点，可得 ，可得抛物线的方程，；
（2）求出 的坐标和直线的方程，求出圆心到直线的距离，运用弦长公式可得 ，再联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得 ， 由此可得关于 的解析式 ，设，求出关于 的关系式，运用换元法和导数，结合单调性，即可得到所求范围．

试题解析：（1）根据题意可知，抛物线的标准方程为：

∵，则

∴

∴抛物线的标准方程为： ．

（2）由（1）可知，

∴

设，

联立方程消去，得

∴

∴

∴

又∵点到直线的距离为，则

∴

令，则

∴

又∵

∴的范围为．