Question

【题目】已知A（x1 ， f（x1），B（x2 ， f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜0）图象上的任意两点，且初相φ的终边经过点P（1，﹣ ），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 ． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0， ]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当x∈[0， ]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵初相φ的终边经过点P（1，﹣ ）， ∴φ为第四象限角，且tanφ= =﹣ ，
再结合﹣ ＜φ＜0，可得φ=﹣ ．
∵|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 = = ，
∴ω=3，函数f（x）=2sin（3x﹣ ）．
（Ⅱ）令2kπ﹣ ≤3x﹣ ≤2kπ+ ，
求得 ﹣ ≤x≤ + ，
可得函数的增区间为[ ﹣ ， + ]．
再结合x∈[0， ]，
可得当x∈[0， ]时函数的增区间为[0， ]．
（Ⅲ）∵当x∈[0， ]时，
∴3x﹣ ∈[﹣ ， ]，
f（x）∈[﹣ ，1]，
故 1﹣ 的最大值为1﹣ = ．
不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，
即m≥ =1﹣ 恒成立，
∴m≥ ．
【解析】（Ⅰ）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanφ的值，可得φ的值．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）由题意可得f（x）的值域，可得 1﹣ 的最大值，条件即m≥ =1﹣ 恒成立，从而求得m的范围．