Question

【题目】设函数.

（1）若直线是函数的图象的一条切线，求实数的值；

（2）当时，（i）关于的方程在区间上有解，求的取值范围，（ii）

证明：当时， .

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）求导，设切点，得 又，解方程即可；

（2）（i）方程即为，令，求导得到函数的单调性进而判断方程根个数即可；

（ii）令， ，令，求导可得函数在上递增， 存在唯一的零点， ，由得可得即可证得.

试题解析：

（1），设切点，

则，又，

即得： .

（2）当时，（i）方程即为

令，则.

当时， 随变化情况如下表：

			极大值

，

当时， ，

的取值范围为.

（ii）证明：令，则

.

令，则当时， ，

函数在上递增， ，

存在唯一的零点，且当时， ，

当时， ，

则当时， ；当时， .

在上递减，在上递增，从而.

由得，两边取对数得，

，从而证得.