Question

【题目】(本小题满分12分)

在直角坐标系中，已知，若。

（Ⅰ）求动点P的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点M的直线与（1）中轨迹相交于点A、B，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：本题点满足到两个定点距离之和为定值，满足椭圆的定义，根据椭圆定义求出椭圆的标准方程，最值问题为解析几何常见考题，高考试题中经常可以看到它的身影，先合理表示三角形的面积，然后求最值，求最值有时使用基本不等式，有时还可以求导.

试题解析：

（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以M、N为焦点的椭圆。

设，则的方程为：

（Ⅱ）设：

得

设，则有

所以

（R）

设，则有

（）

当即时，

当且仅当时取等号，这时面积的最大值为（其中）

当即时，可证在上为增函数，当时，

u有最小值， 有最大值（其中）.