Question

已知抛物线C；y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）；
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA与l的距离等于

5

5

？若存在，求出直线l的方程，说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将（1，-2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．
（2）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．

解答： 解：（1）将（1，-2）代入y²=2px，
得（-2）²=2p•1，所以p=2．
故所求的抛物线C的方程为y²=4x，其准线方程为x=-1．
（2）假设存在符合题意的直线l，
其方程为y=-2x+t，代入抛物线方程得y²+2y-2t=0．
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以△=4+8t≥0，解得t≥-

1

2

．
另一方面，由直线OA到l的距离d=

5

5

可得

|t|

5

=

1

5

，解得t=±1．
因为-1∉[-

1

2

，+∞），1∈[-

1

2

，+∞），
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0．

点评：本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．