Question

已知函数f（x）=

2x+1

x+a

（a≠

1

2

）．
（1）若a=-1，证明f（x）=

2x+1

x+a

在区间（1，+∞）上是减函数；
（2）若函数f（x）=

2x+1

x+a

在区间（-1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=-1代入，求出函数的导数，从而得到函数的单调性；
（2）先将函数的表达式变形，分别讨论函数在区间（-1，+∞）递增，递减是的情况，得到不等式组，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）a=-1时，f（x）=2+

3

x-1

，
∵f′（x）=-

3

(x-1)2

＜0，
∴f（x）在（1，+∞）递减；
 （2）f（x）=2+

1-2a

x+a

，
∵a≠

1

2

，∴1-2a≠0，
当f（x）在（-1，+∞）上单调递增时，

1-2a＜0 -a≤-1

，∴a≥1；
当f（x）在（-1，+∞）上单调递减时，
∴

1-2a＞0 -a≤-1

，无解，
综上：a≥1．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了分类讨论，是一道中档题．