Question

2．已知9^x-10•3^x+9≤0，求函数y=${（\frac{1}{4}）}^{x}$-${（\frac{1}{2}）}^{x-2}$+2的最大值和最小值．

Answer 1

分析 根据9^x=（3^x）^2，把9^x-10•3^x+9≤0转化为（3^x-1）（3^x-9）≤0，从而解出x的取值范围，再用换元法求函数y=${（\frac{1}{4}）}^{x}$-${（\frac{1}{2}）}^{x-2}$+2的最大值和最小值．

解答 解：由9^x-10•3^x+9≤0得（3^x-1）（3^x-9）≤0，
解得1≤3^x≤9．∴0≤x≤2．
令（$\frac{1}{2}$）^x=t，则$\frac{1}{4}$≤t≤1，y=4t²-4t+2=4（t-$\frac{1}{2}$）²+1．
当t=$\frac{1}{2}$即x=1时，y_min=1；当t=1即x=0时，y_max=2．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，考查指数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．