Question

12．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一条渐近线过点（2，3），则此双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{13}}}{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线，建立a，b的关系，结合双曲线离心率的公式进行求解即可．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一条渐近线过点（2，3），
∴（2，3）在y=$\frac{b}{a}$x上，即2×$\frac{b}{a}$=3，即$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{4}}$=$\frac{{\sqrt{13}}}{2}$，
故选：D

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点与渐近线的关系求出a，b的关系是解决本题的关键．