Question

9．定义：若m-$\frac{1}{2}$＜x$≤m+\frac{1}{2}$（m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即m={x}，关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：①定义域为R，值域为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]； ②点（k，0）是函数f（x）图象的对称中心（k∈Z）；③函数f（x）的最小正周期为1； ④函数f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函数．上述命题中，真命题的序号是①③．

Answer 1

分析 根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据f（2k-x）与f（x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于点（k，0）（k∈Z）对称；再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；而由①的结论，易判断函数y=f（x）在 （-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的单调性，但要说明④不成立，我们可以举出一个反例

解答 解：①中，令x=m+a，a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
所以①正确；
②中，∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=$\left\{\begin{array}{l}0，m≤x≤m+\frac{1}{2}\\ 1，m-\frac{1}{2}＜x＜m\end{array}\right.$，
∴点（k，0）（k∈Z）不是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；
③中，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，x=-$\frac{1}{2}$时，m=-1，
f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$
x=$\frac{1}{2}$时，m=0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$
所以f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）
所以④错误．
故答案为：①③．

点评 本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断命题的真假，我们要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、周期性和单调性的证明方法，对4个结论进行验证．