Question

6．已知定义域为R的二次函数的最小值为0，且有f（1+x）=f（1-x），直线g（x）=4（x-1）的图象与f（x）的图象交于两点，两点间的距离为$4\sqrt{17}$，数列{a_n}满足a₁=2，$（{a_{n+1}}-{a_n}）\;•\;g（{a_n}）+f（{a_n}）=0\;（n∈{N^*}）$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证数列{a_n-1}是等比数列；
（3）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的最小值及相应的n．

Answer 1

分析 （1）由对称轴及具有最小值可使用待定系数法求出；
（2）根据已知条件求出递推公式，证明$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$为定值；
（3）写出b_n的通项公式，结合二次函数性质求解．

解答 解：（1）∵f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的对称轴为x=1．
又f（x）的最小值为0，故可设二次函数的顶点式为f（x）=a（x-1）²（a＞0）．
解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=4（x-1）}\\{y=a{{（x-1）}^2}}\end{array}}\right.$得两函数的交点为 $（1，0），\;\;（\frac{4}{a}+1，\frac{16}{a}）$，
∴$\sqrt{{{（\frac{4}{a}）}^2}+{{（\frac{16}{a}）}^2}}=4\sqrt{17}$，解得：a=1．
∴f（x）=（x-1）²．
（2）由（1）知：$f（a_n^{\;}）={（{a_n}-1）^2}，g（{a_n}）=4（{a_n}-1）$，
∵（a_n+1-a_n）•g（a_n）+f（a_n）=0
∴$（{a_{n+1}}-{a_n}）•4（{a_n}-1）+{（{a_n}-1）^2}=0$，即（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0．
由a₁=2可知a_n≠1，∴4a_n+1-3a_n-1=0，${a_{n+1}}-1=\frac{3}{4}（{a_n}-1）$，
∴{a_n-1}是首项为a₁-1=1，公比为$\frac{3}{4}$的等比数列．
（3）由（2）知${a_n}-1={（\frac{3}{4}）^{n-1}}，即{a_n}={（\frac{3}{4}）^{n-1}}+1$，${b_n}=3f（{a_n}）-g（{a_{n+1}}）=3（{a_n}-1{）^2}-4（{a_{n+1}}-1）=3{[{（\frac{3}{4}）^{n-1}}]^2}-3{（\frac{3}{4}）^{n-1}}$=$3{[{（\frac{3}{4}）^{n-1}}-\frac{1}{2}]^2}-\frac{3}{4}$．
因为n∈N^*，所以${（\frac{3}{4}）^{n-1}}的值分别为1，\frac{3}{4}，\frac{9}{16}，\frac{27}{64}，…经过比较\frac{9}{16}距离\frac{1}{2}最近$，
所以当n=3时，b_n有最小值$-\frac{189}{256}$．

点评 本题考查了函数与数列的关系，等比数列的判定，函数的最值．