Question

已知离心率为的椭圆C：=1（a＞b＞o）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A，B．
（1）求椭圆的C方程．
（2）证明：若直线MA，MB的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer 1

【答案】分析：（1）由给出的椭圆的离心率、椭圆过定点M（2，1）及隐含条件a²=b²+c²列方程组可求a²，b²，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，设出A，B两点的坐标，把直线和椭圆联立后可求A，B两点的横坐标的和与积，把直线MA，MB的斜率k₁、k₂分别用A，B两点的坐标表示，把纵坐标转化为横坐标后，则k₁+k₂仅含A，B两点的横坐标的和与积，化简整理即可得到结论．
解答：（1）解：设椭圆C的方程为：．
由题意得：，
把①代入②得：a²=4b²④．
联立③④得：a²=8，b²=2．
∴椭圆方程为．
（2）证明：∵M（2，1），∴
又∵直线l∥OM，可设，将式子代入椭圆C得：，
整理得：x²+2mx+2m²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，．
设直线MA、MB的斜率分别为k₁、k₂，则，．
下面只需证明：k₁+k₂=0，
事实上，
=
=
=
=
=
=0．
点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．