题目内容
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过
km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4
km的区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
【答案】分析：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，
．当x＜2时，
．由此能得到考查区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为
．
设直线l平行于直线l1，其方程为
，代入椭圆方程
，消去y，得
，然后由根的判别式和点到直线的距离公式结合题设条件进行求解．
解答：解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），
当x≥2时，由题意知
．
当x＜2时，由
知，点P在以A，B为焦点，长轴长为
的椭圆上．此时短半轴长
．因而其方程为
．
故考察区域边界曲线（如图）的方程为
和
．
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为
．
设直线l平行于直线l1，其方程为
，代入椭圆方程
，消去y，得
，
由△100×3m2-4×16×5（m2-4）=0，
解得m=8或m=-8．
从图中可以看出，当m=8时，直线l与C2的公共点到直线l的距离最近，此时直线l的方程为
，l与l1之间的距离为
．
又直线l2到C1和C2的最短距离
，而d'＞3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3．
设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，
得
，所以n≥4．
故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年．
点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用和数形结合的合理运用．
．当x＜2时，
．由此能得到考查区域边界曲线的方程；（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为
．设直线l平行于直线l1，其方程为
，代入椭圆方程
，消去y，得
，然后由根的判别式和点到直线的距离公式结合题设条件进行求解．解答：解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），
当x≥2时，由题意知
．当x＜2时，由
知，点P在以A，B为焦点，长轴长为
的椭圆上．此时短半轴长
．因而其方程为
．故考察区域边界曲线（如图）的方程为
和
．
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为
．设直线l平行于直线l1，其方程为
，代入椭圆方程
，消去y，得
，由△100×3m2-4×16×5（m2-4）=0，
解得m=8或m=-8．
从图中可以看出，当m=8时，直线l与C2的公共点到直线l的距离最近，此时直线l的方程为
，l与l1之间的距离为
．又直线l2到C1和C2的最短距离
，而d'＞3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3．设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，
得
，所以n≥4．故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年．
点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用和数形结合的合理运用．
练习册系列答案
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km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4
km的区域， 
