Question

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图）．考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域．
（1）求考察区域边界曲线的方程：
（2）如图所示，设线段P₁P₂（3）是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？

Answer 1

分析：（1）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），由|PA|+|PB|=10知，点P在以A、B为焦点、长轴长为2a=10的椭圆上．由此可知考察区域边界曲线的方程为

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）由题意知过点P₁，P₂的直线方程为4x-3y+47=0．因此点A到直线P₁P₂的距离为d=

|-16+47|

16+9

=

31

5

，设经过n年，点A恰好在冰川边界上，则利用等比数列求和公式可得

0.2(2n-1)

2-1

=

31

5

，由此可知经过5年，点A恰好在冰川边界上．

解答：解：（1）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），
由|PA|+|PB|=10知，点P在以A、B为焦点、长轴长为2a=10的椭圆上．
此时b=

52-42

=3，
∴考察区域边界曲线的方程为

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）由题意知过点P₁，P₂的直线方程为4x-3y+47=0．
因此点A到直线P₁P₂的距离为d=

|-16+47|

16+9

=

31

5

，
设经过n年，点A恰好在冰川边界上，
则利用等比数列求和公式可得

0.2(2n-1)

2-1

=

31

5

，
解得n=5，
即经过5年，点A恰好在冰川边界上．

点评：本题考查椭圆的性质和等比数列的知识，解题时要注意公式的灵活运用．