题目内容
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图)．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过
km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4
km的区域，
km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4
km的区域， 
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程；
(Ⅱ)如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
(Ⅱ)如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
解：(Ⅰ)设边界曲线上点P的坐标为(x，y)，
当x≥2时，由题意知，
，
当x＜2时，由|PA|+|PB|=4
知，点P在以A，B为焦点，长轴长为2a=4
的椭圆上，
此时短半轴长
=2，
因而其方程为
，
故考察区域边界曲线（如图）的方程为C1：
和C2：
。
(Ⅱ)设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，
则直线l1，l2的方程分别为
，
设直线l平行于直线l1，其方程为
，
代入椭圆方程
，消去y，得
，
由△=100×3m2-4×16×5(m2-4)=0，解得m=8或m=-8，
从图中可以看出，当m=8时，直线l与C2的公共点到直线l1的距离最近，此时直线l的方程为y=
x+8，
l与l1之间的距离为
，
又直线l2到C1和C2的最短距离
，
而d′＞3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3．
设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，
则由题设及等比数列求和公式，得
，所以n≥4．
当x≥2时，由题意知，
，当x＜2时，由|PA|+|PB|=4
知，点P在以A，B为焦点，长轴长为2a=4
的椭圆上，此时短半轴长
=2，因而其方程为
，故考察区域边界曲线（如图）的方程为C1：
和C2：
。 
(Ⅱ)设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，
则直线l1，l2的方程分别为
，设直线l平行于直线l1，其方程为
，代入椭圆方程
，消去y，得
，由△=100×3m2-4×16×5(m2-4)=0，解得m=8或m=-8，
从图中可以看出，当m=8时，直线l与C2的公共点到直线l1的距离最近，此时直线l的方程为y=
x+8，l与l1之间的距离为
，又直线l2到C1和C2的最短距离
，而d′＞3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3．
设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，
则由题设及等比数列求和公式，得
，所以n≥4． 
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