Question

17．已知a，b，c∈R，且ab+bc+ac=1．
（1）求证：|a+b+c|≥$\sqrt{3}$；
（2）若?x∈R，使得对一切实数a，b，c不等式m+|x-1|+|x+1|≤（a+b+c）²恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，只需证（a+b+c）²≥3，只需证a²+b²+c²≥1，只需证a²+b²+c²-（ab+bc+ca）≥0，只需证（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0．
（2）由题意得  ${（m+|{x-1}|+|{x+1}|）_{min}}≤{（a+b+c）^2}_{min}$，即可求m的取值范围．

解答 （1）证明：要证原不等式成立，只需证（a+b+c）²≥3，即证a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）≥3，
又ab+bc+ca=1．所以，只需证：a²+b²+c²≥1，即a²+b²+c²-1≥0，
因为ab+bc+ca=1．所以，只需证：a²+b²+c²-（ab+bc+ca）≥0，
只需证：2a²+2b²+2c²-2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，而（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0显然成立，
故原不等式成立；
（2）解：由题意得  ${（m+|{x-1}|+|{x+1}|）_{min}}≤{（a+b+c）^2}_{min}$
由（1）知（a+b+c）²_min=3，
又|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，∴m+2≤3，m的取值范围为：m≤1．

点评 本题考查基本不等式，绝对值不等式的性质，恒成立，能成立综合问题，用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．