Question

17．如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列结论中正确的序号是①③．
①平面A₁BD∥平面CB₁D₁
②AC₁与CD₁相交
③AC₁⊥平面CB₁D₁   
④异面直线AD与CB₁所成角为60°．

Answer 1

分析 由A₁D∥B₁C，BD∥B₁D₁，推导出①正确；由AC₁与CD₁是异面直线，推导出②错误；由B₁D₁⊥AC₁，B₁C⊥AC₁，推导出③正确；由∠BCB₁是异面直线AD与CB₁所成角，推导出④错误．

解答 解：在①中：∵A₁D∥B₁C，BD∥B₁D₁，A₁B∩BD=B，
∴平面A₁BD∥平面CB₁D₁，故①正确；
在②中：AC₁与平面A₁BCD₁相交，且交点不在直线D₁C上，
∴AC₁与CD₁是异面直线，故②错误；
在③中：∵B₁D₁⊥A₁C₁，且B₁D₁⊥AA₁，
∴B₁D₁⊥平面AA₁C₁，∴B₁D₁⊥AC₁，
同理，B₁C⊥AC₁，∴AC₁⊥平面CB₁D₁，故③正确；
在④中：∵AD∥BC，∴∠BCB₁是异面直线AD与CB₁所成角，
由已知得∠BCB₁=45°，故④错误．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．