Question

如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图2．

（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；
（Ⅱ）当2V_B-ADGE=V_D-GBCF时，求二面角D-BG-C平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AE⊥EF，AE⊥BE，BE⊥EF，建立空间坐标系E-xyz，利用向量法能求出BD⊥CG．
（Ⅱ）法一：设EG=k，由AD∥平面EFCB，得到点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离．分别求出平面DBG的法向量和面BCG的一个法向量，利用向量法能求出二面角平面角的余弦值．
（Ⅱ）法二：由已知条件指法训练出EG=1，过点D作DH⊥EF，垂足H，过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD．由已知条件推导出∠DOH就是所求的二面角D-BG-C的平面角，由此能求出此二面角平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF∥BC，又∠ABC=90°，∴AE⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
如图建立空间坐标系E-xyz．…（2分）
翻折前，连结AC交EF于点G，此时点G使得AG+GC最小．
EG=

1

2

BC=2，又∵EA=EB=2．
则A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），
D（0，2，2），E（0，0，0），G（0，2，0），
∴

BD

=（-2，2，2），

CG

=（-2，-2，0）
∴

BD

•

CG

=（-2，2，2）（-2，-2，0）=0，
∴BD⊥CG．…（5分）
（Ⅱ）解法一：设EG=k，∵AD∥平面EFCB，
∴点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离．
∵S四形GBCF=

1

2

[（3-k）+4]×2=7-k，
∴VD-GBCF=

1

3

•S四形GBCF•AE=

2

3

(7-k)，
又VB-ADGE=

1

3

S四形ADGE•BE=

2

3

(2+k)，
∵2V_B-ADGE=V_D-GBCF，∴

4

3

(2+k)=

2

3

(7-k)，
∴k=1即EG=1…（8分）
设平面DBG的法向量为

n1

=(x，y，z)，∵G（0，1，0），
∴

BG

=(-2，1，0)，

BD

=（-2，2，2），
则 

n1 • BD =0 n1 • BG =0

，即

-2x+2y+2z=0 -2x+y=0

取x=1，则y=2，z=-1，∴

n

=(1，2，-1)…（10分）
面BCG的一个法向量为

n2

=(0，0，1)
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 || n2|

=-

6

6

…（12分）
由于所求二面角D-BF-C的平面角为锐角，
所以此二面角平面角的余弦值为

6

6

…（13分）
（Ⅱ）解法二：由解法一得EG=1，过点D作DH⊥EF，垂足H，
过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD．
∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴DH⊥平面EBCF，∴OD⊥OB，
∴∠DOH就是所求的二面角D-BG-C的平面角．…（9分）
由于HG=1，在△OHG中OH=

2 5

5

，
又DH=2，在△DOH中tan∠DOH=

DH

OH

=

5

…（11分）
∴此二面角平面角的余弦值为

6

6

．…（13分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．