Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（1）证明AD⊥D₁F；  
（2）求AE与D₁F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A₁FD₁；
（4）设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的体积VF-A1ED1．

Answer 1

分析：解法一：传统证法．（1）利用线面垂直，证明线线垂直；
（2）设A₁G与AE相交于点H，先证∠AHA₁是AE与D₁F所成的角，再求直线AE与D₁F所成角；
（3）利用线面垂直，证明面面垂直；
（4）利用转换底面的方法，求三棱锥的体积；
解法二：向量证法．设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
（1）利用

DA

•

D1F

=0，可证AD⊥D₁F；
（2）求得cosθ=

AE • D1F

| AE |•| D1F |

=

0

| AE |•| D1F |

=0，可求AE与D₁F所成的角；（3）由题意：

D1A1

=(2，0，0)，
设平面AED的法向量为

n1

=(x1，y1，1)，设平面A₁FD₁的法向量为

n2

=(x2，y2，1)，证明平面的法向量垂直，即可证明面AED⊥面A₁FD₁．
（4）先求得SA1FD1=

1

2

•A1D1•D1F=

5

，计算E到平面A₁FD₁的距离d=

| EF • n2 |

| n2 |

=

3

5

，即可求三棱锥的体积．

解答：解法一：（1）∵AC₁是正方体，∴AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，∴AD⊥D₁F．
（2）取AB中点G，连接A₁G，FG．
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F．
设A₁G与AE相交于点H，则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角，
因为E是BB₁的中点，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，
∴∠GA₁A=∠GAH，从而∠AHA₁=90°，即直线AE与D₁F所成角为直角．
（3）由（1）知AD⊥D₁F，由（2）知AE⊥D₁F，
又AD∩AE=A，所以D₁F⊥面AED．
又因为D₁F?面A₁FD₁，
所以面AED⊥面A₁FD₁．
（4）连接GE，GD₁．
∵FG∥A₁D₁，∴FG∥面A₁ED₁，
∵AA₁=2，
∴面积S_△A1GE=S_ABB1A1-2S_△A1AG-S_△GBE=

3

2

又VF-A1ED1=

1

2

VE-A1GFD1=VF-A1GE=

1

3

SA1GE•FG
∴VF-A1ED1=

1

3

•

3

2

•2=1
解法二：利用用向量求解
解：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
（1）∵

DA

=(2，0，0)，

D1F

=(0，1，-2)，得

DA

•

D1F

=0，∴AD⊥D₁F；
（2）又

AE

=(0，2，1)，得cosθ=

AE • D1F

| AE |•| D1F |

=

0

| AE |•| D1F |

=0
∴AE与D₁F所成的角为90°
（3）由题意：

D1A1

=(2，0，0)，
设平面AED的法向量为

n1

=(x1，y1，1)，设平面A₁FD₁的法向量为

n2

=(x2，y2，1)，
由

DA • n1 =0 AE • n1 =0

⇒

x1=0 y1=- 1 2

⇒

n1

=(0，-

1

2

，1)
由

D1F • n2 =0 D1A1 • n2 =0

⇒

x2=0 y2=2

⇒

n2

=(0，2，1)

得|cosα|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|0-1+1|

| n1 |•| n2 |

=0
∴面AED⊥面A₁FD₁．
（4）∵AA₁=2，

EF

=(-2，-1，-1)，
平面A₁FD₁的法向量为

n2

=(0，2，1)
SA1FD1=

1

2

•A1D1•D1F=

5

，
∴E到平面A₁FD₁的距离d=

| EF • n2 |

| n2 |

=

3

5

，
∴VF-A1ED1=

1

3

•

3

5

•

5

=1．

点评：本题重点考查线面垂直、面面垂直，考查三棱锥的体积，两法并用，注意比较，细细体会．