Question

当x＞1时，求证：（x+1）lnx＞2x-2．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：令f（x）=（x+1）lnx-2x+2，求f′（x）=lnx+

1

x

-1，x＞1不能判断f′（x）的符号，所以再次求导：令g（x）=f′（x），求g′（x）=

x-1

x2

＞0，所以函数g（x）当x＞1时是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）当x＞1时是增函数，所以f（x）＞f（1）=0，所以就得到：（x+1）lnx＞2x-2．

解答： 证：令f（x）=（x+1）lnx-2x+2；
f′（x）=lnx+

x+1

x

-2=lnx+

1

x

-1，令g（x）=f′（x），则：
g′（x）=

x-1

x2

，∵x＞1，∴g′（x）＞0；
∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（1）=0，即f′（x）＞0；
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0；
∴（x+1）lnx＞2x-2．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及通过求导，利用函数单调性证明不等式的方法．