Question

已知定义在R上的奇函数f（x）=

ax2+bx+c

x2+d

在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设A（x₀，y₀）为f（x）图象上任意一点，直线l与f（x）的图象相切于点A，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数奇偶性的性质,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）运用奇函数的定义可得，a=c=0，再求f（x）的导数，由f（1）=2，f′（1）=0，解得，b=4，d=1，再令导数大于0，得增区间，导数小于0，得减区间；
（2）由导数的几何意义，得k=4•

1-x02

(1+x02)2

，令t=

1

1+x02

，0＜t≤1，则k=4（2t²-t），由二次函数的最值解法即可得到k的范围．

解答： 解：（1）奇函数f（x）有f（-x）=-f（x），
即有

ax2-bx+c

x2+d

=-

ax2+bx+c

x2+d

=

-ax2-bx-c

x2+d

，
则有-a=a，-c=c，即a=0，c=0，
则f（x）=

bx

x2+d

，f′（x）=

bd-bx2

(x2+d)2

，
由f（x）在x=1处取得极值2，则f（1）=2，f′（1）=0，
即为b=2（1+d），bd=b，解得，b=4，d=1．
则有f（x）=

4x

x2+1

，f′（x）=

4-4x2

(1+x2)2

，
令f′（x）＞0，得-1＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1或x＜-1．
则增区间为（-1，1），减区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）由于f′（x）=

4-4x2

(1+x2)2

，则k=4•

1-x02

(1+x02)2

=4[-

1

1+x02

+2（

1

1+x02

）²]，
令t=

1

1+x02

，0＜t≤1，则k=4（2t²-t）=8（t-

1

4

）²-

1

2

，
当t=

1

4

时，k取得最小值，且为-

1

2

；t=1时，k取得最大值，且为4．
则直线l的斜率k的取值范围为[-

1

2

，4]．

点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．