Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx的极大值点为x=-1．
（1）用a来表示b，并求a的取值范围；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为-

2

3

，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出导函数，令导函数在极值点x=-1出的值为0，得到a，b的关系；利用导函数的韦达定理求出另一个极值点，据x=-1是极大值得到两个极值点的大小关系，列出不等式求出a的范围．
（2）据（1）得到函数的单调性，通过极值点1-2a与区间端点位置关系的讨论，求出函数的最小值，列出方程求出a的值．

解答： 解：（1）f′（x₀）=x²+2ax+b，由题设知f′（-1）=0
∴b=2a-1
韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a，因为x=-1为极大值点
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（2）f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1-2a）递减，在（1-2a，+∞）上递增，
故当x∈[-1，2]时，分情况如下：
①1-2a≥2，即a≤-

1

2

时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减
∴f（x）_min=f（2）=8a+

2

3

=-

2

3

，
解得a=-

1

6

，不合条件，舍去
②1-2a＜2，即-

1

2

＜a＜1时，
∴f（x）_min=f（1-2a）=

1

3

(1-2a)2(a-2)=-

2

3

，
化简得a（2a-3）²=0，a=0或a=

3

2

，取a=0
综上，故所求的a=0．

点评：本题考查函数的单调性与最值，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．