Question

9．已知（x+2）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ（n∈N^*）．
（1）试求a₀和S_n=$\sum_{i=1}^{n}$a_i；
（2）试比较S_n与（n-2）3ⁿ+2n²．

Answer 1

分析 （1）令x=1计算a₀，令x=2计算a₀+a₁+a₂+…+a_n=4ⁿ，从而得出答案；
（2）计算前5项，比较大小关系，猜想结论，利用数学归纳法证明．

解答 解：（1）令x=1得a₀=3ⁿ，
令x=2可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=4ⁿ，
∴S_n=$\sum_{i=1}^{n}$a_i=4ⁿ-3ⁿ．
（2）当n=1时，S₁=1，（n-2）3ⁿ+2n²=-1，
当n=2时，S₂=7，（n-2）3ⁿ+2n²=8，
当n=3时，S₃=37，（n-2）3ⁿ+2n²=45，
当n=4时，S₄=175，（n-2）3ⁿ+2n²=194，
当n=5时，S₅=781，（n-2）3ⁿ+2n²=779，
猜想：当n≥5时，S_n＞（n-2）3ⁿ+2n²．
①显然n=5时，猜想成立，
②假设n=k（k≥5）时猜想成立，即4^k-3^k＞（k-2）3^k+2k²，
∴4^k+1-4•3^k＞4（k-2）•3^k+4•2k²，
即4^k+1＞4[（k-1）•3^k+2k²]=k•3^k+1+2（k+1）²+[（k-4）•3^k+6k²-4k-2]，
而（k-4）•3^k+6k²-4k-2=（k-4）•3^k+6（k²-k-2）+2k+10=（k-4）•3^k+6（k-2）（k+1）+2k+10＞0，
∴4^k+1＞[k•3^k+1+2（k+1）²，即4^k+1-3^k+1＞（k-1）•3^k+1+2（k+1）²，
∴当n=k+1时，猜想成立，
∴当n≥5时，S_n＞（n-2）3ⁿ+2n²．
综上，当n=1时，S_n＞（n-2）3ⁿ+2n²；
当2≤n≤4时，S_n＜（n-2）3ⁿ+2n²；
当n≥5时，S_n＞（n-2）3ⁿ+2n²．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于中档题．