Question

4．设y=f（x）为定义在R上的可导函数，定义运算⊕和?如下：对任意m，n∈R均有m⊕n=|f（m）|•n；m?n=f'（m）+n．若存在a∈R，使得对于任意x∈R，恒有a⊕x=a?x=x成立，则称实数a为函数的基元，则下列函数中恰有两个基元的是（　　）

• A． f（x）=x²+1
• B． $f（x）=\frac{1}{2}（{x^3}-3x）$
• C． f（x）=2x³+3x²
• D． f（x）=cosx

Answer 1

分析 分别求出四个函数的导数，由新定义可得含a的方程，求得a的值，检验|f（a）|=1是否成立，即可得到结论．

解答 解：对于A，f（x）=x²+1的导数为f′（x）=2x，由a⊕x=a?x=x，可得|f（a）|•x=2a+x=x，
可得a=0，此函数只有一个基元；
对于B，f（x）=$\frac{1}{2}$（x³-3x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{2}$（3x²-3），由a⊕x=a?x=x，
可得|f（a）|•x=$\frac{1}{2}$（3a²-3）+x=x，
可得a=±1，且|f（±1）|=1恒成立，此函数恰有两个基元；
对于C，f（x）=2x³+3x²的导数为f′（x）=6x²+6x，由a⊕x=a?x=x，
可得|f（a）|•x=（6a²+6a）+x=x，
可得a=0或-1，|f（1）|=5，|f（0）|=0不恒成立，此函数没有基元；
对于B，f（x）=cosx的导数为f′（x）=-sinx，由a⊕x=a?x=x，
可得|f（a）|•x=-sina+x=x，
可得a=kπ，k∈Z，且|f（kπ）|=1恒成立，此函数由无穷多个基元．
故选：B．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用，以及恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题．