Question

如图，底面为直角梯形的四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，E为A₁B₁的中点，且△ABE为等腰直角三角形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC.

(1)求证：AB⊥DE；

(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；

(3)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)证明：取AB中点O，连接EO，DO.

因为EB＝EA，所以EO⊥AB.

因为四边形ABCD为直角梯形，

AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，

所以四边形OBCD为正方形，

所以AB⊥OD.

又EO，OD为平面EOD内的两条相交直线，

所以AB⊥平面EOD.

因为ED⊂平面EOD，

所以AB⊥ED.

(2)因为AA₁⊥平面ABCD，且EO∥AA₁，

所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.

由OD，OA，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

因为△EAB为等腰直角三角形，

所以OA＝OB＝OD＝OE，设OB＝1，

则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，－1,0)，C(1，－1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)．

所以＝(1，－1，－1)，平面ABE的一个法向量为＝(1,0,0)．

设直线EC与平面ABE所成的角为θ，

所以sin θ＝＝，

即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.

(3)存在点F，且＝时，有EC∥平面FBD.证明如下：

设平面FBD的法向量为ν＝(a，b，c)，

取a＝1，

得ν＝(1，－1,2)．

因为·ν＝(1，－1，－1)·(1，－1,2)＝0，

即⊥ν；

又因为EC⊄平面FBD，

所以EC∥平面FBD.

因此当点F满足＝时，有EC∥平面FBD.