Question

如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，

 

（1）求证：MN//平面PAD；

（2）求证：MN⊥AB；

（3）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，试确定θ的值，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线.

Answer 1

证明：（1）取PD中点E，连接NE、AE，则四边形MNEA是平行四边形，

∴MN∥AE.∴MN∥平面PAD.

（2）连结AC、BD,两者交于O，连结OM、ON，因为ON∥PA，所以ON⊥平面ABCD.

因为OM⊥AB，由三垂线定理,知MN⊥AB.

（3）∵PA⊥面AC，AD是PD在面AC内的射影，CD⊥AD,

∴CD⊥PD.∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角θ.

当θ=45°时，AE⊥PD，AE⊥CD，

∴AE⊥面PCD.

∵MN∥AE,∴MN⊥面PCD.

∵PC面PCD，∴MN⊥PC.

又由（2）知MN⊥AB，∴MN是AB与PC的公垂线.