Question

【题目】已知数列{an}满足an=3an﹣1+3n﹣1（n∈N*，n≥2）且a3=95．
（1）求a1 ， a2的值；
（2）求实数t，使得bn= （an+t）（n∈N*）且{bn}为等差数列；
（3）在（2）条件下求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=2时，a2=3a1+8，

当n=3时，a3=3a3+33﹣1=95，

∴a2=23，

∴23=3a1+8，

∴a1=5

（2）解：当n≥2时，bn﹣bn﹣1= （an+t）﹣ （an﹣1+t）= （an+t﹣3an﹣1﹣3t）= （3n﹣1﹣2t）．

要使{bn}为等差数列，则必须使1+2t=0，

∴t=﹣ ，

即存在t=﹣ ，使数列{bn}为等差数列

（3）解：∵当t=﹣ ，时，数列{bn}为等差数列，且bn﹣bn﹣1=1，b1= ，

∴bn= +（n﹣1）=n+ ，

∴an=（n+ ）3n+ ，

于是，Sn= ×3+ 32+…+ 3n+ ×n，

令S=3×3+5×32+…+（2n+1）3n，①

3S=3×32+5×33+…+（2n+1）3n+1，②

①﹣②得﹣2S=3×3+3×32+2×33+…+23n﹣（2n+1）3n+1，②

化简得S=n3n+1，

∴Sn= + = ，

数列{an}的前n项和Sn，Sn=

【解析】（1）当n=2时，a2=3a1+8，当n=3时，a3=3a3+33﹣1=95，可得a2=23，代入即可求得a1=5；（2）由等差数列的性质可知：bn﹣bn﹣1= （an+t）﹣ （an﹣1+t）= （an+t﹣3an﹣1﹣3t）= （3n﹣1﹣2t）．可知：1+2t=0，即可求得t的值；（3）由等差数列的通项公式可得bn= +（n﹣1）=n+ ，求得an=（n+ ）3n+ ，采用分组求和及“错位相减法”即可求得数列{an}的前n项和Sn ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：或，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．