Question

【题目】已知⊙C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，直线L：y=kx+1与⊙C相交于P，Q点．
（1）求⊙C的方程．
（2）过点（0，1）作直线L1⊥L，且L1交⊙C于M，N，求四边形PMQN的面积最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设圆心C（a，a），半径为r．

因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，

所以 = =r

解得a=0，r=2，

所以圆C的方程是x2+y2=4

（2）解：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．

因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有d12+d2=1

又根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2 ，|MN|=2

∴S= ×2 ×2 =2 ≤2 =7

当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7

【解析】（1）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；（2）设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1 ， 求得d12+d2=1，根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2 ，|MN|=2 ，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．