Question

20．已知关于x的不等式为12x²-ax＞a²．
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）当a∈R时，求不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）a=2时，不等式化为12x²-2x＞2²，求出解集即可；
（2）a∈R时，不等式12x²-ax＞a²化为（4x+a）（3x-a）＞0，讨论a＞0、a=0和a＜0时，求出对应不等式的解集即可．

解答 解：（1）当a=2时，不等式为12x²-2x＞2²，
即6x²-x-2＞0，
化为（3x-2）（2x+1）＞0，
解得x＜-$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{2}{3}$，
所以不等式的解集为{x|x＜-$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{2}{3}$}；
（2）当a∈R时，不等式12x²-ax＞a²化为（4x+a）（3x-a）＞0，
即（x+$\frac{a}{4}$）（x-$\frac{a}{3}$）＞0；
①当a＞0时，-$\frac{a}{4}$＜$\frac{a}{3}$，不等式的解集为{x|x＜-$\frac{a}{4}$或x＞$\frac{a}{3}$}；
②当a=0时，x²＞0，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
③当a＜0时，-$\frac{a}{4}$＞$\frac{a}{3}$，不等式的解集为{x|x＜$\frac{a}{3}$或x＞-$\frac{a}{4}$}；
综上，a＞0时，不等式的解集为{x|x＜-$\frac{a}{4}$或x＞$\frac{a}{3}$}；
a=0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
a＜0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{a}{3}$或x＞-$\frac{a}{4}$}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，考查了分类讨论的数学思想，是综合性题目．