Question

11．已知△ABC中，AB=4，且满足BC=$\sqrt{3}$CA，则△ABC的面积的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 3
• C． 2
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设CA=b，则BC=$\sqrt{3}$b，利用余弦定理可求得cos²A=$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{16}$-1，再利用三角形的面积公式可求得S_△ABC=2bsinA，继而可求S_△ABC²=48-$\frac{1}{4}$（b²-16）²，从而可得△ABC面积的最大值．

解答 解：依题意，设CA=b，则BC=$\sqrt{3}$b，又AB=4，
由余弦定理得：cosA=$\frac{{4}^{2}+{b}^{2}-（\sqrt{3}b）^{2}}{2×4×b}$=$\frac{8-{b}^{2}}{4b}$=$\frac{2}{b}$-$\frac{b}{4}$，
∴cos²A=（$\frac{2}{b}$-$\frac{b}{4}$） ²=$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{16}$-1，
∴sin²A=1-cos²A=2-$\frac{4}{{b}^{2}}$-$\frac{{b}^{2}}{16}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=$\frac{1}{2}$×4bsinA=2bsinA，
∴S²_△ABC=4b²sin²A=4b²（2-$\frac{4}{{b}^{2}}$-$\frac{{b}^{2}}{16}$）=48-$\frac{1}{4}$（b²-16）²，
当b²=16，即b=4时，4、4、4$\sqrt{3}$能组成三角形，
∴S²_max=48，
∴S_max=4$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S²_△ABC=48-$\frac{1}{4}$（b²-16）²是关键，也是难点，属于难题．