Question

1．已知点A（-$\frac{1}{2}$，0），抛物线y²=2x的焦点为F，点P在抛物线上，连接AP，交y轴于点M，若$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$，则△APF的面积是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 设出P，M的坐标，根据$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$，得到M是AP的中点，利用中点坐标公式求出a，b的值，结合三角形的面积是进行求解即可．

解答 解：∵点P在抛物线上，
∴不妨设P（$\frac{{a}^{2}}{2}$，a），（a＞0），M（0，b），
∵$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$，
∴M是AP的中点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-\frac{1}{2}+\frac{{a}^{2}}{2}}{2}=0}\\{\frac{0+a}{2}=b}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=1}\\{b=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，即a=1，b=$\frac{1}{2}$，
即P（$\frac{1}{2}$，1），
抛物线的焦点坐标为F（$\frac{1}{2}$，0），
则PF⊥AF，
则直角三角形PFA的面积S=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查抛物线的性质的应用，设出点的坐标，利用中点坐标公式求出未知数，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．