已知$\overrightarrow{m}$=(2-sin.-2).$\overrightarrow{n}$=(1.sin2x).f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$.(x∈[0.$\frac{π}{2}$])的值域,(2)设△ABC的内角A.B.C的对边长分别为a.b.c.若f=1.b=1.c=$\sqrt{3}$.求a的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知$\overrightarrow{m}$=（2-sin（2x+$\frac{π}{6}$），-2），$\overrightarrow{n}$=（1，sin²x），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（$\frac{B}{2}$）=1，b=1，c=$\sqrt{3}$，求a的值．

分析（1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由余弦函数的有界性即可求值域．
（2）由f（$\frac{B}{2}$）=1，得cos（B+$\frac{π}{3}$）=0，又结合范围0＜B＜π，即可解得B的值，由正弦定理可求sinC，解得C，解得A，即可解得a的值．

解答（本小题满分12分）
解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2-sin（2x+$\frac{π}{6}$）-2sin²x=2-（sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$）-（1-cos2x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1．          …（2分）
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴-1≤cos（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，从而有0≤f（x）≤$\frac{3}{2}$，
所以函数f（x）的值域为[0，$\frac{3}{2}$]．                   …（4分）
（2）由f（$\frac{B}{2}$）=1，得cos（B+$\frac{π}{3}$）=0，又因为0＜B＜π，所以$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$$＜\frac{4π}{3}$，
从而B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{6}$．                     …（6分）
因为b=1，c=$\sqrt{3}$，所以由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$得sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
当C=$\frac{π}{3}$时，A=$\frac{π}{2}$，从而a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
当C=$\frac{2π}{3}$时，A=$\frac{π}{6}$，又B=$\frac{π}{6}$，从而a=b=1
综上a的值为1或2．…（12分）
（用余弦定理类似给分）．

点评本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了余弦函数的图象和性质，正弦定理，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．