题目内容
5．已知函数f（x）=$\frac{2x}{x+1}，x∈[{-3，-2}]$（1）求证：f（x）在[-3，-2]上是增函数；
（2）求f（x）得最大值和最小值．
分析 （1）设x1＜x2∈[-3，-2]，作差判断f（x1）＜f（x2），可得：f（x）在[-3，-2]上是增函数；
（2）结合（1）中函数的单调性，可得f（x）得最大值和最小值．
解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{2x}{x+1}，x∈[{-3，-2}]$
设x1＜x2∈[-3，-2]，
∴x1-x2＜0，x1+1＜0，x2+1＜0，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=2-\frac{2}{{x}_{1}+1}-2+\frac{2}{{x}_{2}+1}=\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[-3，-2]上是增函数；
（2）由（1）中f（x）在[-3，-2]上是增函数，
∴当x=-3时，f（x）min=f（-3）=3，
当x=-2时，f（x）max=f（-2）=4．
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数单调性的判断与证明，函数的最值，难度中档．
练习册系列答案
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| A． | y=$\frac{3}{2}x-2$ | B． | y=$\frac{1}{2}x$ | C． | y=-2x+5 | D． | y=$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$ |