Question

在中，已知，又的面积等于6.
（Ⅰ）求的三边之长；
（Ⅱ）设是（含边界）内一点，到三边的距离分别为，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）三边长分别为3，4，5.（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）对条件，由正弦定理和余弦定理可以转化为只含边的等式，这个等式
化简后为，由此得 ，所以.再根据三角形的面积等于6可得BC＝4，由勾股定理可得AB＝5.
（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，设P点坐标为（x, y），则由点到直线的距离公式可将用点P的坐标表示出来，然后用线性规划可求出其取值范围.
试题解析：（Ⅰ）法一、设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a, b, c，
∵，∴，由正弦定理有,
又由余弦定理有，∴，即，
所以为Rt，且           3分
所以 
又，由勾股定理可得AB＝5       6分
法二、设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a, b, c，
∵，∴，由正弦定理有,
又由余弦定理有，∴，即，
所以为Rt，且           3分
又
（1）÷（2），得          4分
令a="4k," b="3k" (k>0)
则∴三边长分别为3，4，5     6分
（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为
设P点坐标为（x, y），则由P到三边AB、BC、AB的距离为d₁, d₂和d₃可知
，          8分
且故       10分
令，由线性规划知识可知0≤m≤8，故d₁+d₂+d₃的取值范围是  12分