题目内容
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；
（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；
（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=
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考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；
（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可
（3）三棱锥B1-A1DC的体积VB1-A1DC=VC-A1B1D，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．
（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可
（3）三棱锥B1-A1DC的体积VB1-A1DC=VC-A1B1D，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．
解答：
证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE
∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点
又∵D是AB的中点，DE∥BC1，
又DE?面CA1D，BC1?面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D；
（2）AC=BC，D是AB的中点，
∴AB⊥CD，
又∵AA1⊥面ABC，CD?面ABC，
∴AA1⊥CD，
∵AA1∩AB=A，
∴CD⊥面AA1B1B，
又∵CD?面CA1D，
∴平面CA1D⊥平面AA1B1B
（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，
∴三棱锥B1-A1DC底面B1A1D上的高就是CD=
，
又∵BD=1，BB1=
，
∴A1D=B1D=A1B1=2，SA1B1D=
，
∴三棱锥B1-A1DC的体积VB1-A1DC=VC-A1B1D=
•
•
=1
∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点
又∵D是AB的中点，DE∥BC1，
又DE?面CA1D，BC1?面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D；
（2）AC=BC，D是AB的中点，
∴AB⊥CD，
又∵AA1⊥面ABC，CD?面ABC，
∴AA1⊥CD，
∵AA1∩AB=A，
∴CD⊥面AA1B1B，
又∵CD?面CA1D，
∴平面CA1D⊥平面AA1B1B
（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，
∴三棱锥B1-A1DC底面B1A1D上的高就是CD=
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又∵BD=1，BB1=
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∴A1D=B1D=A1B1=2，SA1B1D=
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∴三棱锥B1-A1DC的体积VB1-A1DC=VC-A1B1D=
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点评：本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性
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（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（2）若|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．
（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（2）若|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．
已知a＞1，b＞1，且lnalnb=
，则ab（ ）
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| A、有最大值1 |
| B、有最小值1 |
| C、有最大值e |
| D、有最小值e |