题目内容
弦AB经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则下列叙述中，错误的选项是（ ）
分析：根据抛物线方程可得焦点坐标，进而可设直线L的方程与抛物线联立根据韦达定理求得x1+x2，x1x2进而得出y1y2根据抛物线定义可求得|AB|的表达式，整理可得|AB|=2p（1+
），由于k=tana，进而可知当a=90°时AB|有最小值．
| 1 |
| k2 |
解答：解；焦点F坐标（
，0），设直线L过F，则直线L方程为y=k（x-
）
联立y2=2px得k2x2-（pk2+2p）x+
=0
由韦达定理得x1+x2=p+
x1x2=
∴y12y22=4p2x1x2=p4 y1y2=-p2 ∴D正确
|AB|=x1+x2+
=x1+x2+p=2p+
=2p（1+
）∴B正确
因为k=tana，所以1+
=1+
=
所以|AB|=
当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正确
故选C
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
联立y2=2px得k2x2-（pk2+2p）x+
| p2k2 |
| 4 |
由韦达定理得x1+x2=p+
| 2p |
| k2 |
| p2 |
| 4 |
∴y12y22=4p2x1x2=p4 y1y2=-p2 ∴D正确
|AB|=x1+x2+
| p |
| 2 |
| 2p |
| k2 |
| 1 |
| k2 |
因为k=tana，所以1+
| 1 |
| k2 |
| 1 |
| tan2α |
| 1 |
| sin2α |
所以|AB|=
| 2p |
| sin2α |
当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正确
故选C
点评：本题主要考查抛物线的应用．这道题综合了抛物线的性质、抛物线的焦点弦、直线与抛物线的关系等问题．综合性很强．
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