Question

弦AB经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则下列叙述中，错误的选项是（　　）

A．当AB与x垂直时，|AB|最小

B．|AB|=x1+x2+p

C．以弦AB为直径的圆与直线x=- p 2 相离

D．y1y2=-p2

Answer 1

解；焦点F坐标（

p

2

，0），设直线L过F，则直线L方程为y=k（x-

p

2

）
联立y²=2px得k²x²-（pk²+2p）x+

p2k2

4

=0
由韦达定理得x₁+x₂=p+

2p

k2

  x₁x₂=

p2

4

∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴   y₁y₂=-p² ∴D正确
|AB|=x₁+x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=2p+

2p

k2

=2p（1+

1

k2

）∴B正确
因为k=tana，所以1+

1

k2

=1+

1

tan2α

=

1

sin2α

所以|AB|=

2p

sin2α

当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正确
故选C