Question

12．已知平面内三个向量$\overrightarrow a$=（1，-1），$\overrightarrow b$=（x，2），$\overrightarrow c$=（2，1），满足$\overrightarrow a$∥（${\overrightarrow b$+$\overrightarrow c}$）．
（Ⅰ）求实数x的值；
（Ⅱ）求$\overrightarrow c$在$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$上的投影．

Answer 1

分析 （I）求出$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$的坐标，根据向量平行列方程解出x；
（II）求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，计算|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{c}•$（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$），代入投影公式计算即可．

解答 解：（I）$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$=（x+2，3），
∵$\overrightarrow a$∥（${\overrightarrow b$+$\overrightarrow c}$），
∴-（x+2）-3=0，解得x=-5．
（II）由（I）知$\overrightarrow{b}$=（-5，2），
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（6，-3）．
∴$\overrightarrow{c}•$（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=12-3=9．
|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{36+9}$=3$\sqrt{5}$．
∴$\overrightarrow c$在$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$上的投影为|$\overrightarrow{c}$|•cos＜$\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于中档题．