题目内容

14．三棱锥P-ABC中，侧棱PA=2，PB=PC=$\sqrt{6}$，则当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积和最大时，经过点P，A，B，C的球的表面积是（　　）
A．4πB．8πC．12πD．16π

分析 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．

解答 解：当PA，PB，PC两两垂直时，三棱锥P-ABC的三个侧面的面积和最大，
此时2R=$\sqrt{6+6+4}$=4，S=4π•4=16π，
故选D．

点评 本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．

练习册系列答案
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4．已知焦距为2$\sqrt{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，直线y=$\frac{4}{3}$与椭圆C交于P、Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N．
（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x+3y-2=0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．
5．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的体积为$4\sqrt{3}π$．
2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM=BN≠$\sqrt{2}$，有以下四个结论：①AA1⊥MN；②AB∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1一定是异面直线．其中正确命题的序号是（　　）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
9．已知椭圆Γ的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0）．经过点F1且倾斜角为θ（0＜θ＜π）的直线l与椭圆Γ交于A、B两点（其中点A在x轴上方），△ABF2的周长为8．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）如图，把平面xOy沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴确定的半平面，与y负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直．
①若θ=$\frac{π}{3}$，求异面直线AF1和BF2所成角的大小；
②若折叠后△ABF2的周长为$\frac{15}{2}$，求θ的大小．
19．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其侧面积（　　）
A．4B．$4\sqrt{3}$C．$4（1+\sqrt{3}）$D．8
6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的直径为（　　）
A．10B．$\sqrt{34}$C．5D．$\frac{{\sqrt{34}}}{2}$
3．左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点Q（0，$\sqrt{3}$），P为椭圆上一点，△PF1F2的重心为G，内心为I，IG∥F1F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M为直线x-y=4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB，A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
4．以双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点F，与y轴交于P，Q两点，若△MPQ为正三角形，则C的离心率等于（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．2D．$\sqrt{5}$

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