Question

4．给出下列命题中：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）-f（-x）为奇函数；
②若函数f（x）的定义域为R上的奇函数，且对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x），则任意x∈R，都有f（x）=f（4+x）；
③若f（x+1）为奇函数，则f（x）关于（1，0）对称；
④若f（x）f（x-2）=3，则f（x）是周期为4的函数．
其中正确的命题是①②③④（请把正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析 ①函数f（x）的定义域为R，则g（-x）=f（-x）-f（x）=-g（x），即可判断出函数的奇偶性；
②由已知可得对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x），则f（2+x）=f（-x）=-f（x），于是f（x+4）=f（x），即可得出周期性；
③由f（x+1）为奇函数，可得f（-x+1）=-f（x+1），即f（2-x）+f（x）=0，即可得出对称性；
④由f（x）f（x-2）=3，f（x+2）f（x）=3，可得f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），即可得出周期性．

解答 解：①若函数f（x）的定义域为R，则g（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-g（x），∴g（x）为奇函数，正确；
②若函数f（x）的定义域为R上的奇函数，且对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x），则f（2+x）=f（-x）=-f（x），f（x+4）=-f（2+x）=f（x），因此任意x∈R，都有f（x）=f（4+x），正确；
③若f（x+1）为奇函数，则f（-x+1）=-f（x+1），∴f（2-x）+f（x）=0，因此f（x）关于（1，0）对称，正确；
④若f（x）f（x-2）=3，f（x+2）f（x）=3，∴f（x+2）=f（x-2），∴f（x+4）=f（x），则f（x）是周期为4的函数，正确．
综上可得：①②③④都正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、抽象函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．