Question

9．设定义域为[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象的为C．图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，y₂），且满足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），又设向量$\overrightarrow{ON}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$．现定义函数y=f（x）在[x₁，x₂]上“可在标准下线性近似”是指|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，其中k＞0为常数．给出下列结论：
（1）A、B、N三点共线；
（2）直线MN的方向向量可以为$\overrightarrow{a}$=（0，1）；
（3）函数y=5x²在[0，1]上“可在标准下线性近似”；
（4）若函数y=x-$\frac{1}{x}$在[1，2]上“可在标准下线性近似”，则k≥$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$．
其中所有正确结论的序号是（1），（2），（4）．

Answer 1

分析 对于（1）根据向量共线即可判断，对于（2）说明M，N的横坐标相同即可．
对于（3），（4）先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题．

解答 解：由向量$\overrightarrow{ON}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，得$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OB}$=λ（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），即$\overrightarrow{BN}$=λ$\overrightarrow{BA}$，故（1）成立；
∵向量$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，y₂），且满足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∴向量的横坐标为λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∵$\overrightarrow{OM}$=（x，y），满足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∴MN∥y轴，
∴直线MN的方向向量可以为$\overrightarrow{a}$=（0，1），故（2）成立，
对于函数y=5x²在[0，1]上，易得A（0，0），B（1，5），
所以M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），
从而|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{{5}^{2}（1-λ）^{2}-（1-λ）^{2}}$=$\sqrt{25[（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}]^{2}}$≤$\frac{5}{4}$，
故函数y=5x²在[0，1]上可在标准下线性近似”，（3）不成立，
对于函数y=x+$\frac{1}{x}$在[1，2]上，易得A（1，0），B=（2，$\frac{3}{2}$），
∴直线AB方程为y=$\frac{3}{2}$（x-1）
∴|$\overrightarrow{MN}$|=y₁-y₂=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$（x-1）=$\frac{3}{2}$-（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$）≤$\frac{3}{2}$$-\sqrt{2}$（当且仅当x=$\sqrt{2}$时，取等号）
∵x∈[1，2]，
∴x=$\sqrt{2}$时，
|$\overrightarrow{MN}$|的最大值为$\frac{3}{2}$$-\sqrt{2}$，
∴则k≥$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$．故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）

点评 本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略．