Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面 ，，是的中点，作交于点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、转化能力.第一问，利用向量法证明平面，利用已知的垂直关系建立空间直角坐标系，写出点A，P，B坐标，计算出向量和坐标，由于说明，再利用线面平行的判定平面；第二问，利用向量垂直的充要条件证明，而，则利用线面垂直的判定得平面EFD，所以平面EFD的一个法向量为，再利用法向量的计算公式求出平面DEB的法向量，最后利用夹角公式求二面角的正弦值.
如图建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设. ……..…1分

（1）证明：连结交于点，连结.依题意得.
因为底面是正方形，所以点是此正方形的中心，
故点的坐标为，且.               
所以,即,而平面,且平面,
因此平面．                           ……5分
（2）,又,故,所以.
由已知，且,所以平面. ………7分
所以平面的一个法向量为.,
不妨设平面的法向量为
则                      
不妨取则，即  …10分
设求二面角的平面角为
 因为，所以．
二面角的正弦值大小为． ………12分