Question

12．已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax
（1）若f（x）在R上单调递增，求a的取值集合；
（2）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a≥0恒成立，可得△=（a+1）²-4a≤0，由此求得a的范围．
（2）分a＜-1、a＞1两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，综合可得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax在R上单调递增，∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a≥0，
即 x²-（a+1）x+a≥0，可得△=（a+1）²-4a≤0，∴a=1，即a的取值集合为{1}．
（2）若|a|＞1，∵f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6[x²-（a+1）x+a]=6[（x-1）（x-a）]，
①若a＜-1，由于在[0，1]上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；在（1，2|a|]上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值g（a）=f（1）=3a-1．
②若a＞1，由于在[0，1]上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（1，a）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在[a，2a]上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，故f（x）的最小值为f（0）或f（a）．
∵f（0）=0，f（a）=3a²-a³=a²（3-a），故当a＞3时，f（a）＜0；当1＜a＜3时，f（a）＞0；a=3时，f，（a）=0，
故g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}（3-a），a＞3}\\{0，a=3}\\{0，1＜a＜3}\end{array}\right.$．
综上可得，f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}（3-a），a＞3}\\{0，1＜a≤3}\\{3a-1，a＜-1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．