Question

8．已知sinα，cosα是方程5x²+x+m=0的两根，α是第二象限角，求$\frac{sin（-α-\frac{3π}{2}）+cos（\frac{3π}{2}-α）}{cos（\frac{π}{2}-α）•sin（\frac{π}{2}+α）}$•tan²（π-α）的值．

Answer 1

分析 由韦达定理求出sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=-$\frac{4}{5}$，由此利用诱导公式能求出$\frac{sin（-α-\frac{3π}{2}）+cos（\frac{3π}{2}-α）}{cos（\frac{π}{2}-α）•sin（\frac{π}{2}+α）}$•tan²（π-α）的值．

解答 解：∵sinα，cosα是方程5x²+x+m=0的两根，
∴sinαcosα=$\frac{m}{5}$，sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+$\frac{2m}{5}$=$\frac{1}{25}$，
∴$\frac{2m}{5}=-\frac{24}{25}$，解得m=-$\frac{12}{5}$，
∴sinαcosα=-$\frac{12}{5}$，sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$，
∵α是第二象限角，∴sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=-$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{sin（-α-\frac{3π}{2}）+cos（\frac{3π}{2}-α）}{cos（\frac{π}{2}-α）•sin（\frac{π}{2}+α）}$•tan²（π-α）
=$\frac{cosα-sinα}{sinαcosα}•ta{n}^{2}α$
=$\frac{-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}}{\frac{3}{5}•（-\frac{4}{5}）}$•（$\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}$）²
=$\frac{105}{64}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意韦达定理、诱导公式的合理运用．